卵アレルギーについて

１歳４ヶ月の男の子の母です。
卵の消化管アレルギーについて教えてください。
息子は、少しでも卵が含まれているものを食べると３〜４時間後に嘔吐します。
アレルギーはすぐに身体に反応が出るものだけと思っていたので、数時間後に吐くだけの息子に関しては、今までは食べ過ぎや体調不良かなと見過ごしてきました。しかし、ネットで調べると消化管アレルギーというものがあり、それに当てはまることが判明しました。
病院でアレルギー検査をしましたが、反応は出ませんでした。なので、病院からは特に指導をもらえませんでした。しかし、ネットに書いてありましたが、消化管アレルギーは反応が出ないことが多いそうで。

そこで、こちらで質問させてください。
卵を食べたら吐いてしまう息子に対して、卵は完全除去をしたらいいですか？もしそうなら、いつまで除去し続ければいいのでしょうか？
少しずつでも食べさせて、身体に慣れさせていくべきなのでしょうか？

よろしくお願いいたします。