体重増加と食事について

お世話になっております。
１歳７ヶ月の娘の食事についての相談です。

先月の一歳半健診から３週間ほどで約0.6㎏増えてしまいました。それまでは月に0.1〜0.2くらいのペースだったので、急激に増えたことに驚きました。
流石に、月齢としてもこの増え方はまずいですか？

食事内容は
ご飯なら軽めの茶碗一杯
うどんなら半玉強
パンはロールパン１つくらいです。
朝食にはパンとヨーグルト100gにフルーツピューレを加えて食べさせています。

野菜は偏食で食事に並べるもののほぼ食べません。 たんぱく質は時々、気に入ると食べますが、基本的には食べません。たんぱく質で食べてくれるのはしらす、アンパンマンソーセージ、ウインナーなどの加工肉ばかりです。


おやつの時間は食事量を増やす様に、と食間を４時間以上空けるように言われたので、できればあげないように…と欲しがらなければあげないつもりで決めていません。
ですが、炭水化物しか食べないので、腹持ちも悪く一日中おやつを欲しがります。
おやつの量としてはロールパン1〜2個、アンパンマンソーセージ（野菜入り）1〜3本   
これを１日に何回かに分けて食べています。 

 私自身がつわり中で、横になって過ごす時間も長く、ぐずられたり何度も何度も授乳をせがまれて休めない状況がつらくなり、あげてしまっている部分もあったり…

夫も、アンパンマンソーセージが娘の唯一のたんぱく質くらいに思っていて、たんぱく質を摂らせようと欲しがった時にはすぐにあげてしまっていたりします。

実母なども一歳目前まで、一切の離乳食を拒否していた時期を知っているので、娘が“美味しい”と食べてくれるのが嬉しい、と強請られるままにあげてしまっています。
体重の増加ペースを考えるとあげたくないものの、娘の気を外らせるための代替案がないので、 あげるパンの量を最初から千切って少なくしたり、小分けのもので量が決まっているものを選ぶ程度しかできていません。夫がいる日はなるべく商業施設や観光施設など屋内外問わずに歩かせられる場所に連れて行く様に頑張ってはいますが、つわりで体調が優れず、遊びに連れ出せておらず、運動量が落ちたのも一因かとは思います。
  
フォローアップミルクも腹持ちの為に、とあげていましたが眠前の50〜100mlしか飲まなくなりました。

 どのように工夫した方が良いのでしょうか？
元々が小柄なので、数字だけ見たら肥満というわけでもありませんが、いま太らせてしまうと将来太りやすくなると聞くので、急な体重増加は避けたいと思っています。