起床時の飲料水の保存方法について

お世話になります。  明日で一歳2ヶ月になる子供のことですが、
起床時すぐに水分を欲する為、普段は、寝る前に沸騰させて冷ました白湯を子供用のコップに入れて、枕元に置き、すぐに飲めるように置いています。

しかし、ふと思ったのですが、これからの時期白湯であっても一晩も置いていたら細菌繁殖等してしまうのではないか？と思いました！

本来なら飲みたがった時に、私が冷蔵庫まで行って、その都度コップに入れてあげたら良いのでしょうが、眠気に勝てず、上記のような対応をしています。

一晩白湯を常温で放置しても大丈夫でしょうか？
もし、やめた方が良いのであれば、冷蔵庫までわざわざ起きずにすむような、何か良いアイデアがあれば教えていただきたいです。

よろしくお願いします。