離乳食のかたさを進めるにはどうすれば良いか

9月から保育園に入園し、慣らし保育が始まりました。
給食は完了期〜幼児食への移行ということで、形状も大きくしっかりしたもののようです。自宅では後期程度のかたさのものしか食べておらず、給食を始めて2日間はお米以外ほぼ食べられませんでした。入園前は、「離乳食はお子様の状況に合わせて〜」と伺っていましたが、「家でも練習してみてください」と言われ茹で野菜(出汁で茹でた角切りじゃがいも、にんじんスティック)を食べさせましたが口から出してしまいます。つぶしたり小さくカットすると食べるので、形状が嫌なようです。今までも少し大きくしたり、かたくしたり、口に残るような状態にすると食べなくなり(口から出す、口を開けなくなる)つい食べやすさを優先してしまいました。
給食を食べられるようにさせたいですが、これからどうすれば良いでしょうか。

また、保育園では銀のスプーンで食べるようで、スプーンそのものが大きいです。(ファミリーレストランにあるような、持ち手まで銀のもの)
自宅ではまだシリコンの細いスプーンで食べさせていたのでその影響もあるのでしょうか。
現在、鼻風邪をひいて鼻水が喉の方に流れるようで息苦しそうにもしています。そのため食欲があまりないので、今はあまり進められないでしょうか。