至急回答願います

10ヶ月になったばかりの息子について相談です。
４月中旬から乾いた咳、鼻水が続いていました。
4月29日に39.3の発熱と痒みのない湿疹がありました。
翌日解熱したものの病院を受診し風邪薬を処方してもらいました。それから日中は平熱で痰がらみの咳と鼻水、夕方以降38℃をこえる熱が続いています。
かかりつけ医がGW中休みだったので別の病院を5月2日に受診し風邪薬を処方されました。
それでも変化がないため本日もかかりつけ医を受診。5月4日から目やにで寝起きは目があけられないほどだったことも伝えました。アデノウィルスの可能性。もしくはBCGの跡が多少赤かったので川崎病？でももっと赤くなるはずだから、気にして観察するよういわれました。念のため抗生物質と目薬を追加で処方。まだ発熱は続くかもと言われました。
受診時には気づきませんでしたが、肩から背中にかけてあせものような赤い湿疹が見られます。
今晩も38℃の発熱です。
食欲はありますが今日はものすごく機嫌が悪かったです。
このまま様子を見ていていいのか不安です。
どうしたらいいでしょうか？

長文で失礼しました。