赤ちゃんの溶連菌の症状について

6歳の男の子と生後3ヵ月の女の子を育てています。
昨日の朝から3ヵ月の長女の腕と脚に真ん中が白く周りが赤い発疹が沢山見られ、引いたり出たりしていたので様子を診ていたのですが今朝になっても発疹が出ていたため小児科を受診しました。
すると、特に診断名は言われず乳児はよくあることとのことで飲める薬もないしこのまま自然治癒と言われました。
手足口病やその他感染症の症状はないと言われたのですが、6歳の長男が喉の痛みがあったため一緒に診察してもらったところ溶連菌が陽性でしたので、抗生剤をもらってきました。
この場合長女も溶連菌という可能性はないでしょうか？
また、そうだった場合乳児はこのまま様子見で大丈夫なのでしょうか？
発疹以外は、夜頻回に起きる。母乳を飲むとき唸る。時々空咳をする。くしゃみをよくする。などです。
今のところ熱はなく、母乳は唸りながらも飲んでいる、おしっこやうんちも出ている。多少激しめに泣くこともあるがそこまで機嫌は悪くないといった感じです。

特に診断名もなしだったので、一体この発疹はなんなのかと心配です。

長々とすみません。
なにかアドバイスがありましたら宜しくお願い致します。