赤ちゃんの体調について

こんにちは。
生後4ヶ月の子どもを育児しております。

月曜日に熱があり、受診したところ突発性発疹か風邪かの診断で、翌日も熱が続くようならまた受診を。と言われました。

受診後カロナールシロップを飲ませて熱は落ち着き、
寝る前には、パパママが寝てる間に熱性痙攣になったら怖いと思い、37.5℃くらいなのにカロナールシロップを飲ませて寝かせてしまいました。

そして、早朝の泣き声で起きたのですが、
その際いつもと違った泣き声で顔や手足が青白く、手足が冷たかったです。
ミルクは140ml作ったのを全部飲んでくれたのですが、またすぐに目を閉じて眠りにつきそうな感じでした。
（いつもなら飲んだ後、笑顔になったり、まだ欲しそうにしたりする姿が見られます）

怖かったので、子ども医療電話相談に連絡し、指示の通り、無理矢理起こして沢山声をかけたり、あたためたり、身体をマッサージしたりしてみました。
受診してみた方がいいとのことで、今すぐにかかれる病院を教えていただいたのですが、次第に笑顔の表情も見られたり、しっかり起きて意識も良くなり、少しずつあたたかくなってきたので受診はせずにお家で様子をみることにしました。

それからは、38℃まで上がり、大量のうんちをした後のお昼すぎからはずっと平熱でいつもの元気が見られたので、その日はどこにも受診しませんでした。

38.5℃でもないのにカロナールシロップを飲ませてしまったことをすごく反省しています。

今回のような症状は、チアノーゼだったのでしょうか？
どうするのが適切だったのか、また、やはり病院に行くべきだったのか、今後の参考にしたいのでご助言いただけると助かります。

よろしくお願いします。