生後3ヶ月の入浴について

生後3ヶ月の息子のお風呂のことで相談です

2ヶ月ごろから
冬でとても寒くなってきたので、
湯冷めしてはいけないと思い、
 ベビーバスで 毎日10分入浴してしまっていました…
お湯の中で身体や頭を洗い、最後ベビーバス のお湯を抜いてシャワーで流していました
長い時は12分とかかかっていたこともあります
 
もう1ヶ月以上その生活をしてしまっています…

今日たまたま咳が出ていたので（熱なし）、
体調があまり良くない時にお風呂に入っていいのか
ネットで調べていたところ
入浴時間は5分以外でとどこのサイトにも書いてあり、
今までが長すぎだったことに気がつきました…

今日のお風呂から五分以内で済ませて入りました
すると、いつもよりも
手足を活発に動かしていることに気がつきました
顔も赤くありません。
 
今までの入浴後は身体や顔が赤く、
今思えばぼーっとしていたように思います
ぼーっとしているのは眠いのかなと、
そして  身体や顔が赤くても、
あったまってよかったと思ってしまっていました

 今までの様子はのぼせていたんだ…と
本当に後悔の気持ちでいっぱいです
 
入浴直後 はいつもミルクを必ず飲ませています

 
この生活を2ヶ月、まだ産まれて間もない3ヶ月の子にしてしまっていたのですが、何か頭に障害がのこったり、
身体に悪影響があるのでしょうか？

受診した方がいいのでしょうか？

本当に後悔しかありません…
ご回答よろしくお願い致します