蕁麻疹とアレルギー

こんにちは、1歳10ヶ月の子どもなのですが相談させてください

数日前より咳と鼻水がありました。火曜日の朝、目脂とあり小児科でいつもの風邪薬と初めて使う目薬を処方されました。水曜日に私も目脂とも目の違和感があり一緒に眼科を受診して流行り目ではない。目薬もそのまま使って。と言われました。今朝、着替える時に全身に発疹、発赤とあり小児科(いつものところが休みなので別のところ)へ行き蕁麻疹と言われました。
蕁麻疹に対する薬2種類と今飲んでる風邪薬はそのまま飲んで良いと言われました。

蕁麻疹とアレルギーは違うのでしょうか？いままでアレルギーは出たことないです。
上の子(5歳)が先週同じようにぶつぶつができて皮膚科で蕁麻疹と言われ今は落ち着きました。蕁麻疹はうつりますか？
また、小児科と皮膚科とどちらに行くべきか悩んだのですが皮膚科に行くべきだったのでしょうか？