赤ちゃんの発熱について

こんばんは。
赤ちゃんの発熱について様子見でいいのか、迷ったため相談させていただきました。

本日の夕方、鼻くそを取るためにティッシュなどを入れたからなのか、少し目を離すと鼻水が出ていたので、念の為熱を測ると、37.6度でした。
その後、15分以内くらいで徐々に熱が上がり、38.0度にまで上がりました。
ネットで調べて、短時間でならお風呂に入れても大丈夫との情報もあったため、パッと入れました。
そのあとは、37.0度まで下がり、現在は36.2度でした。

状況として、生後3ヶ月の息子が、昨日12月20日に2度目の予防接種を受けました。
接種後は特段変わりなく、機嫌なども良かったため、本日午前中から児童館と買い物へ合計4時間ほど出かけました。

予防接種を受けた翌日なので、副反応かとも思ったのですが、外出に付き合わせてしまったので風邪でも引いてしまったのか、ただおっぱいやミルクの飲みはいつもと変わらず、機嫌も良かったです。
急に熱が上がり、その後下がるようであればすぐに病院を受診せず様子見でも問題ないのでしょうか。
あと、急に上がった熱が急に下がるのは大丈夫なのかどうかも気になります。

よろしくお願いします。