白湯の持ち運びについて

こんにちは。8ヶ月になった女の子を育てています。
普段白湯を飲ませているのですが、暑くなってきての白湯の持ち運びについて教えてください。
今は朝マグに入れて1日それを飲ませる感じなんですが、これからどんどん暑くなるに連れて、外に持っていく際、どうしたらいいのでしょうか？
暑くなっていてもそれを1日飲ませ続けるのは大丈夫ですか？
出先だと入れ替えは難しいと思うのですが、それでも時々入れ替えた方がいいんでしょうが？

マグはcombiを使っていて保冷などはついていません。
保冷バックなどに入れて持ち運んだ方がいいですか？それとも THERMOSみたいな保冷が着いているマグ？を買って飲ませた方ががいいんでしょうか？
まだ冷たいものなどはダメだと思うので悩んでいます。