夜中のオムツ交換について

生後20日の男の子がいます。初めての育児です。
授乳前にオムツを替えて、授乳するのですが、飲み始めてすぐにうんちをします。飲み始めなので、そのままオムツは変えずに反対の乳までしっかり飲ませるのですが、だいたい飲んでる最中に寝てしまいます。
そのままゲップを出させるために背中を叩いたりさすったりしますが、それでも起きないことが多いです。
そこで、うんちが出ているとかぶれるかなと思い、毎回夜中も授乳後、オムツ替えているのですが、せっかく寝ていたのに、また目を覚まし、ギャン泣きし始めます。それですぐ寝る時もありますが、ひどいとまたお腹が空くのか泣き止まず、またおっぱいを求める仕草をします。
こんな時、寝ていてもオムツは変えるべきなのでしょうか？
夜中に覚醒しやすいので、何か方法があれば知りたいです。

ほぼ毎回飲んでると、うんちするのですが、そもそも普通なのでしょうか？
授乳の仕方が悪いのでしょうか？