夜の細切れ睡眠について

はじめまして。
３ヶ月の男の子がいます。
夜の就寝前はミルク、それ以外は母乳で育てています。

ご相談したいのは、夜の細切れ睡眠についてです。
20時半にお風呂、 ミルク、 22時前後に就寝、その後1時、2時と起きてしまいます。
空腹ではなく、寝ぐずりのようで、トントンしてもダメなので抱っこするとすぐにまた寝ます。
そして4時に 空腹で起きてすぐ寝て、6-7時にまた起きます。 
朝6、7時に起きた際は  カーテンを開け、日光を浴びさせています。 そこからはご機嫌でよく遊びます。
  
こちらの質問では、3ヶ月に入ると夜は良く寝てくれるようになった、という話をよく見かけるので
私の育て方が悪いのか、気になっています。

どんな方法を試しても仰向けでは寝てくれなかったので、諦めてずっとお腹の上に乗せて寝かせています。  
日中は１時間半遊んだら眠くなるので
都度30分〜２時間程度寝るだけ寝させて、
私もその時間に一緒に寝ています。  
ただ、睡眠不足が続き、私自身疲れで先日熱を出してしまいました…  


何か解決策やアドバイスがあれば、教えていただけますでしょうか。