赤ちゃんの目について

目の中に糸状の目やにのような物がついている時があります。
猫を飼っていますが触れさせていない、家族は触っても手洗いしてるので回虫では無いと思うのですが…
 ちなみに下まぶたの方が若干逆まつ毛気味です。
赤ちゃん自体は機嫌もよく、必要以上に目を擦らない、泣かない、目は普通に開く、 追視できます。
病院で見てもらった方が良いでしょうか。
また、その場合小児科と眼科どちらが良いのでしょうか。