息子の咳について

在本さん、こんにちは。
現在生後3ヶ月になったばかりの息子の咳について質問があります。

元々生後すぐから咳が多い子だったのですが、4日前に予防接種を受けた後からさらに頻繁に咳をするようになりました。
状態としては
・朝方が特に多い
・痰が絡んでるように聞こえる
・ゼロゼロと喉が鳴っている
・一度にする咳はコンコンと乾いたものを2-3回
・オエッとなる時がたまにある
・熱はなく機嫌は良い
・ミルクも飲む
・鼻水は無し

です。最初は病院で風邪を貰ったのかな？と思ったのですが、咳以外の症状はありません。
毎日外に散歩に行くのですが、花粉の多い時期なので、花粉症やホコリのアレルギーは考えられるでしょうか？
 主人が花粉症、私がホコリやダニ、土や花粉などのアレルギーがあり、軽い喘息症状が出る時があります。

遺伝することがあると聞いたことがありますが、この月齢で発症するものなのでしょうか？
今時期怖くて病院に連れて行くのも嫌なので、様子を見ている段階なのですが、診察受けた方が良いでしょうか？

何かしてあげられる事はあるでしょうか？
ご回答よろしくお願い 致します。