足が冷たくて足の色が良くない

宮川さんこんにちは。
1歳1ヶ月になる息子の足の冷たさについて相談です。

足育には裸足が良いとのことなので、外出時以外は裸足で過ごしています。 
ですがリビングの床がフローリングで冷たく、 エアコンを付けても床は冷たいままなので足がかなり冷たいです。
赤ちゃんの手足が冷たいのはふつうのこと、と見るので気にしてなかったのですが、 1月以降、冷え込んで来てからはかかとから先の足の色が紫っぽくて、色が良くない事が多いです。
気が付いたらマッサージしたり揉みながら手で温めたりしてますが、色が悪くなっても裸足でいさせた方が良いのか疑問に思ってきました。
色まで悪くなるようだったら、冷え込んでる真冬の間は 滑り止め付きの靴下を履かせた方がいいでしょうか？

また寝る時も裸足なのですが、朝起きた時も足の色が悪い事が多いです。
(掛け布団ではなく足首までのスリーパーを使用しています)
足が冷たいので 長ズボンのパジャマにさらにレッグウォーマーを履かせていて、膝から上は温かいのですが、寝る時も靴下にするべきか悩んでいます。
  
 ちなみに東京23区内に住んでいて、息子の足首から上の、服を着ている部分はじゅうぶん温かく感じます。
足が冷たくない時は、足の色は血色の良い色に戻ります。

 昼間と寝る時の靴下の必要性についてご回答頂けると幸いです。
よろしくお願いします。