授乳中に寝てしまう

お世話になっています。

ちょうど生後1ヶ月になった娘です。基本母乳ですが、ここ最近、夜間など眠りが深い時は片方飲むと寝てしまい、足の裏やお腹を強めにくすぐっても、布団に寝かせても、声かけをしても何をしても起きません。 

ベビースケールがあるのでそれで母乳量をはかっていますが、だいたい片側40〜50cc飲んで寝てしまっています。

基本は左右10分ずつ飲ませてますが、長すぎるのかと思い、8分にしても片側終わると寝てしまいますし、左右5分ずつ×2にしても、最後の5分の前に寝てしまいます。 

 このような場合、どうしたら良いでしょうか。
ちなみに、ミルクだと哺乳瓶を咥えさせると寝ていても飲みます。 
乳腺炎予防のためにも均等に飲ませたいです。
 
よろしくお願い致します。