授乳時の睡眠について

生後12日の息子の相談をさせてください。
息子は36週2,908gで産まれました。
入院中からよく寝る子で、授乳練習時も起こすのが大変なくらいでした。病院での指導では、『体力がないからすぐ寝てしまう。起こしてでも飲ませて』でした。
まだ母乳の出に自信がなく、混合でやっています。
しかし退院後家での授乳は更に大変になり、何をしても起きず、長い時は2時間起こし続けて、ミルクのみの場合、80ml飲みきらずやっと70ml飲んでくれるというくらいでした。
昨日あたりからは眠っていて母乳すら飲んでくれず、その後のミルクも残してしまっている状態です。
うんち、おしっこは一般的に足りているという量は出ています。
体重が増えていれば問題ないかなと思っているのですが、まだ3,000gはなさそうです。体型は皮が掴めるくらいで、増えている感じがしません。
ネットで調べると、無理に起こしてあげる必要はないなども書かれていて、1〜2時間も起こしてダメならそこで終わりにしていいものか、悩んでいます。
今回で4人目の子ですが、授乳に苦労したことがなく、とても悩んでいます。
よろしくお願いいたします。