目やにを繰り返してしまいます。

はじめまして！
3か月になった娘を育てています。

生後1週間すぎたくらいから緑色っぽい目やにが出始め、2週間 検診の時に相談すると目薬を処方されました。
そのおかげで1か月検診の頃には 無事に治り安心していたのですが、2か月の頃また目やにがでて、眼科へ。
そして 今も緑色の目やにが出始めてきてしまい、本日眼科へ受診しました。
目薬を処方してもらい、点眼を続ければ割とすぐに治るのですが生まれてからかれこれ3.4回 ほど繰り返していて心配です。
2か月頃からは拳しゃぶりもはじまり、ふとした時に目に当たってしまったらと思い、なるべくこまめに手を拭くようにしていますが、 それでも全ては防ぎきれず、、、
目やに予防、またはなってしまっても自力で治すことは出来るのでしょうか？