就寝時の服装について

生後3カ月の子供の就寝時の服装について相談です。

冷房をつけた状態で短肌着とオムツにお腹だけおくるみをかけて寝せているのですが、夜中動くようになり、起きる頃にはお腹丸出しになってしまいます。
夜間は長い時で9時間ほどまとめて寝ており、気づいたらおくるみをかけていますが親も起きれない時は何もかけずに寝ている状態が何時間も続いていることがあります。
先日寝ている間に体に触って見たら全身が冷たくなっていました。
寒いと泣くことはありませんが、スリーパーや一枚上に服を着せた方がいいのでしょうか。温めすぎてもSIDSの危険があるのではないかと心配しています。
なお、普段もあまり汗をかかないのですが夜間暑くて汗びっしょりということは今までありませんでした。
アドバイスいただけますと幸いです。