早朝起き

いつも丁寧な回答をありがとうございます。
今回は早朝に目が覚めてしまうことについてご相談させて下さい。

あと4日で4ヶ月になる息子がいます。
ここ最近、朝5時半頃になると目が覚めてしまい、その後自分では寝付けないようです。（以前も早朝起きてしまうことがありましたが、頻繁ではありませんでした）
毎日の就寝時間は20時頃です。
足をバタバタさせたり、指しゃぶりをしている音で起きていることに気付きます。
まだなんとなく 眠そうにしていて、泣いたりもしないのでお腹が空いて起きてしまった感じでもなさそうです。
5分くらい様子を見るのですが（あまり長い時間そのままだとグズり始めます）モゾモゾ動いていて寝そうもないので、声を掛けトントンしたり、ダメそうなら抱っこをしてユラユラすると10分くらいでまた眠りにつき、その後6時半頃起床します。
私としては6時頃まで起きずに寝てくれるのが理想なんですが、なかなかそうもいかず今は5時半に起きてしまい二度寝させている感じです。
 ちなみに完ミで、夜中は1回・2時頃にミルクをあげています。  
本人が5時半頃、自然と目が覚めたときに無理に寝かしつけず、6時の起床時間までの 30分を寝室で過ごすのがいいのか、今のように二度寝をさせて次起きた時間を起床時間とするのか悩んでいます。
早朝起きてしまうことについて、起床時間についてなど助言を頂ければと思います。よろしくお願い致します。