薬について

2歳の長男の鼻風邪を貰ったようで、生後4ヶ月の次男が2日前程から鼻水や鼻づまり、少しばかりの咳がみられるようになりました。
昨日は、37℃～38℃の微熱や発熱がありました。

今日、受診し、シロップの混合薬と抗生剤を処方してもらいまた。シロップは飲んだことあるのですが、抗生剤は初めてで、色々と調べると、風邪には基本的に出さないと書いてありました。
飲み始めたら、中途半端にやめるのはダメみたいなのできちんと飲み終わろうとは思ってます。

熱が出ていたから抗生剤なのでしょうか？
今後、風邪をひきやすかったり体の中の正常な菌が死んでしまったりあるのでしょうか？

薬の名前は、エリスロシンドライシロップです。

医者から出されたのに不安になってしまい質問させて頂きました。