発熱？の受診の目安について

生後１ヶ月(50日)の息子がいます。
受診の目安についてお聞きしたいです。
朝、昼、夕方と決まった時間に検温をしており、大体いつも37.2~37.4°Cとやや温かめの息子です。
何度か37.7℃や37.8℃と微熱？普段より高めの数値が首で測ると出ます。
脇だと普段通りです。
微熱が出ても、よくミルクも飲み、手足もバタバタ動かしたり、機嫌も良いです。
また、室内を少し涼しくしたり、肌着にすると、普段通りの体温に首で検温してもなります。
37.5℃越えたら受診と産院でうかがったのですが、すぐに受診した方が良かったのでしょうか？
検温は首の方が正確なのでしょうか？
また眠い時やよく動いたあと熱が上がると聞いたことがあるのですが、それも原因でしょうか？

すみません、お手隙の際に教えてください。