風邪でしょうか？

生後20日目の赤ちゃんのことです。
兄弟が先週風邪をひいて、今鼻声状態です。赤ちゃんが、今週になって鼻水ズルズルと鼻の奥のほうでいっているなーと思っていたら、くしゃみを頻回にするようになり、乾咳のようにケホケホ、鼻水も透明と緑どちらも出るようになり、綿棒で絡み取れないサラサラした鼻水です。熱はなし。
母乳も元々吸い付きは悪かったので、今も変わりはなく時間かけて飲んでいます。よく寝る方で、3時間おきに授乳のたびにコチョコチョや片乳ごとおむつ変えたりしながら起こして授乳している状況です。寝ているときも咳やたまに鼻ズルでぐっすり熟睡できていないようです。
生後１ヶ月以内でなにかあれば、産院に受診するように言われていました。この風邪で、産院に受診したほうがいいのか、熱もなく授乳もできてきるので、様子見でいいのか迷っています。１ヶ月未満の赤ちゃんに風邪薬を処方してもらえるのでしょうか？
ちなみに、2週間健診でおヘソがジュクジュクしていて、1週間くらい様子見てもジュクジュクが取れなければ、小児科に行ってくださいと助産師さんに言われました。丁度、そろそろ1週間経つので、ついでに小児科で風邪薬ももらったほうがいいのでしょうか？